Question

11．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（1）若关于x的不等式f（x）＜|1-2a|的解集不是空集，求实数a的取值范围；
（2）若关于t的一元二次方程t²+2$\sqrt{6}$t+f（m）=0有实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由绝对值不等式知f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，从而可得|1-2a|＞4，从而解得；
（2）由题意知△=24-4（|2m+1|+|2m-3|）≥0，从而可得|2m+1|+|2m-3|≤6，再分类讨论去绝对值号，从而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，
∴|1-2a|＞4，
∴a＜-$\frac{3}{2}$或a＞$\frac{5}{2}$，
∴实数a的取值范围为（-∞，-$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）．
（2）由题意知，
△=24-4（|2m+1|+|2m-3|）≥0，
即|2m+1|+|2m-3|≤6，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≤-\frac{1}{2}}\\{-2m-1-2m+3≤6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜m＜\frac{3}{2}}\\{2m+1-2m+3≤6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{3}{2}}\\{2m+1+2m-3≤6}\end{array}\right.$，
解得，-1≤m≤2；
故实数m的取值范围是[-1，2]．

点评 本题考查了绝对值函数的应用及绝对值不等式的解法，同时考查了分类讨论的思想应用．