Question

2．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为$\frac{3}{4}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$，选手选择继续闯关的概率均为$\frac{1}{2}$，且各关之间闯关成功与否互不影响．
（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；
（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A₁，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A₂，则A₁，A₂互斥，由此能求出选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率．
（Ⅱ）X所有可能的取值为0，5，15，35，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，
“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A₁，
“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A₂，则A₁，A₂互斥，
$P（{A_1}）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{8}$，…（2分）
$P（{A_2}）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{16}$，…（4分）
$P（A）=P（{A_1}）+P（{A_2}）=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$…（5分）
（Ⅱ）X所有可能的取值为0，5，15，35，…（6分）
$P（X=0）=（1-\frac{3}{4}）+P（A）=\frac{7}{16}$，
$P（X=5）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$，
$P（X=15）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，
$P（X=35）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$…（10分）
所以，X的分布列为：

X	0	5	15	35
P	$\frac{7}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$

…（11分）
$EX=0×\frac{7}{16}+5×\frac{3}{8}+15×\frac{1}{8}+35×\frac{1}{16}=\frac{95}{16}$…（12分）

点评 本题考查概率的求法，离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理运用．