Question

5．已知函数f（x）=$\frac{x}{x+1}$，若数列{a_n}（n∈N^*）满足：a₁=1，a_n+1=f（a_n）
（1）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，求证数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知，a_n+1a_n+a_n+1=a_n，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以数列{b_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列；
（2）由（1）数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵f（x）=$\frac{x}{x+1}$，a₁=1，a_n+1=f（a_n），
∴a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
∴a_n+1a_n+a_n+1=a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴数列{b_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列；
（2）解：由（1）知，$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．