Question

17．已知函数f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a=1，b=1时，若f（2^x）=$\frac{5}{4}$，求x的值；
（3）若b=-1且对任何x∈（0，1]，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入a，b值，直接根据定义判断即可；
（2）代入a，b得出2^x|2^x-1|+1=$\frac{5}{4}$，利用换元令t=2^x，t＞0，逐步求解即可；
（3）不等式可转化为|x-a|＜$\frac{1}{x}$，根据绝对值的性质可得出x-$\frac{1}{x}$＜a＜x+$\frac{1}{x}$恒成立，故只需求出左式的最大值和右式的最小值即可．

解答 解：（1）当a=1，b=0时，
f（x）=x|x-1|，
f（-x）=-x|x+1|≠±f（x），
∴函数没有奇偶性；
（2）当a=1，b=1时，
f（x）=x|x-1|+1，若f（2^x）=$\frac{5}{4}$，
∴2^x|2^x-1|+1=$\frac{5}{4}$，
令t=2^x，t＞0，
当t＞1时，t（t-1）=$\frac{1}{4}$，
∴t=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
∴x=log₂（1+$\sqrt{2}$）-1；
当t＜1时，
t（1-t）=$\frac{1}{4}$，
不成立，
∴x=log₂（1+$\sqrt{2}$）-1；
（3）若b=-1且对任何x∈（0，1]，不等式f（x）＜0恒成立，
∴|x-a|＜$\frac{1}{x}$，
∴x-$\frac{1}{x}$＜a＜x+$\frac{1}{x}$恒成立，
∴0＜a＜2．

点评 本题考查了函数的奇偶性的判断和换元法的应用，绝对值不等式和恒成立问题的转换，综合性较强．