Question

6．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-1）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，若g（x）=f（x）-2x-b有三个零点，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （k-$\frac{1}{8}$，k+$\frac{1}{8}$），k∈Z
• B． （2k-$\frac{1}{8}$，2k+$\frac{1}{8}$），k∈Z
• C． （4k-$\frac{1}{8}$，4k+$\frac{1}{8}$），k∈Z
• D． （8k-$\frac{1}{8}$，8k+$\frac{1}{8}$），k∈Z

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质求出函数周期性和对称性，作出函数的图象，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，求函数的导数，利用曲线相切的性质进行即可．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-1）为偶函数，
∴f（-x-1）=f（x-1）=-f（x+1），
则f（x）=-f（x+2），
则f（x+4）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数
且函数f（x-1）关于y轴对称，即函数f（x）关于x=-1对称，
若x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]时，此时f（-x）=（-x）${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{-x}$=-f（x），
则f（x）=-$\sqrt{-x}$，x∈[-1，0]，
由g（x）=f（x）-2x-b有三个零点，
得g（x）=f（x）-2x-b=0，即f（x）=2x+b有三个根，
作出函数f（x）和y=2x+b的图象如图：
当y=2x+b与f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$在[0，1]内相切时，
得f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
由f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$=2得$\sqrt{x}$=$\frac{1}{4}$，即x=$\frac{1}{16}$，此时y=$\frac{1}{4}$，
即切点坐标为（$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{4}$），
此时由2×$\frac{1}{16}$+b=$\frac{1}{4}$得b=$\frac{1}{8}$，
当y=2x+b与f（x）=-$\sqrt{-x}$在[-1，0]内相切时，
得f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{-x}}$，
由f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{-x}}$=2得$\sqrt{-x}$=$\frac{1}{4}$，即-x=$\frac{1}{16}$，此时y=-$\frac{1}{4}$，
即切点坐标为（-$\frac{1}{16}$，-$\frac{1}{4}$），
此时由2×（-$\frac{1}{16}$）+b=-$\frac{1}{4}$得b=-$\frac{1}{8}$，此时两个函数有2个交点，
若g（x）=f（x）-2x-b有三个零点，
则-$\frac{1}{8}$＜b＜$\frac{1}{8}$，
∵函数的周期是4，
∴4k-$\frac{1}{8}$＜b＜4k+$\frac{1}{8}$，k∈Z，
故选：C

点评 本题主要考查函数零点个数的应用，综合考查函数与方程的转化，根据条件求出函数的周期性，利用函数周期性和奇偶性对称性的性质进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．