Question

16．在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，∠C=$\frac{π}{4}$，cosB=$\frac{3}{5}$．
（1）求sinA的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可解得sinA的值．
（2）由（1）及正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵cosB=$\frac{3}{5}$，∠C=$\frac{π}{4}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
（2）∵由（1）可得：a=2，sinB=$\frac{4}{5}$，sinA=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{4}{5}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{7}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×\frac{8\sqrt{2}}{7}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{8}{7}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．