Question

1．已知f（x）=$\sqrt{（a+2）{x}^{2}+bx+a+2}$（a，b∈R）定义域为R，则3a+b的取值范围为[-6，+∞）．

Answer 1

分析 分类求解，当a+2=0时，求得b=0，得到3a+b=-6；当a+2≠0时，得到$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞0}\\{-2（a+2）≤b≤2（a+2）}\end{array}\right.$，利用线性规划知识求出3a+b的取值范围，取并集得答案．

解答 解：当a+2=0时，要使f（x）=$\sqrt{（a+2）{x}^{2}+bx+a+2}$（a，b∈R）定义域为R，
则b=0，此时3a+b=-6；
当a+2≠0时，要使f（x）=$\sqrt{（a+2）{x}^{2}+bx+a+2}$（a，b∈R）定义域为R，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞0}\\{{b}^{2}-4（a+2）^{2}≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞0}\\{-2（a+2）≤b≤2（a+2）}\end{array}\right.$．
作出可行域如图，
令z=3a+b，
化为b=-3a+z，
由图可知，当直线b=-3a+z过点（-2，0）时，直线在b轴上的截距最小，z有最小值为-6．
∴3a+b的取值范围为[-6，+∞）．
故答案为：[-6，+∞）．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了简单的线性规划，体现了数学转化思想方法，是中档题．