Question

18．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项之积为T_n，若T=${2}^{{n}^{2}-n}$，则数列{$\frac{{a}_{n}+63}{{2}^{n-1}}$}中最小项的序号n=4．

Answer 1

分析 利用递推关系求得数列的通项公式a_n=4ⁿ，$\frac{{a}_{n}+63}{{2}^{n-1}}$=2•2ⁿ+$\frac{126}{{2}^{n}}$设f（x）=2x+$\frac{126}{x}$（x≥2）、利用导数研究函数的单调性、数列的单调性即可得出．

解答 解：∵各项均为正数的数列{a_n}的前n项之积为T_n，
T=${2}^{{n}^{2}-n}$，
∴a₁=T₁=2⁰=1．
n≥2时，${a}_{n}=\frac{Tn}{{T}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{{n}^{2}-n}}{{2}^{（n-1）^{2}-n+1}}$=2^2n-2，
${a}_{n}={2}^{2n-2}$，
$\frac{{a}_{n}+63}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{4}^{n}+63}{{2}^{n-1}}$=2^n-1+$\frac{63}{{2}^{n-1}}$=f（n），
考察函数f（x）=x+$\frac{63}{x}$（x≥2）的单调性，
∴f′（x）=1-$\frac{63}{{x}^{2}}$，
当0≤x＜3$\sqrt{7}$时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x＞3$\sqrt{7}$时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
∴当x=8时，f（x）取最小值为：$\frac{127}{8}$，
∴当2^n-1=8，n=4时，取最小值$\frac{127}{8}$，
故答案为：4．

点评 本题考查求数列的通项公式，根据函数的单调性求函数的最小值，属于中档题．