Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{|x|}$，关于x的方程f²（x）-2af（x）+a-1=0（m∈R）有四个相异的实数根，则a的取值范围是（$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$，+∞）．

Answer 1

分析 将函数f（x）表示为分段函数形式，判断函数的单调性和极值，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可．

解答 解：当x＞0时，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，函数的导数f′（x）=$\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，则当x=1时 函数取得极小值f（1）=e，
当x＜0时，f（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，函数的导数f′（x）=-$\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=-$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，此时f′（x）＞0恒成立，
此时函数为增函数，
作出函数f（x）的图象如图：
设t=f（x），则t＞e时，t=f（x）有3个根，
当t=e时，t=f（x）有2个根
当0＜t＜e时，t=f（x）有1个根，
当t≤0时，t=f（x）有0个根，
则f²（x）-2af（x）+a-1=0（m∈R）有四个相异的实数根，
等价为t²-2at+a-1=0（m∈R）有2个相异的实数根，
其中0＜t＜e，t＞e，
设h（t）=t²-2at+a-1，
则$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＞0}\\{h（e）＜0}\\{-\frac{-2a}{2}=a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{{e}^{2}-2ae+a-1＜0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＞\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}}\end{array}\right.$，
即a＞$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$，
故答案为：（$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$，+∞）

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．