Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=$\frac{1}{3}，{S_{n+1}}={S_n}+4{a_n}$+3．
（Ⅰ）证明：{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （I）S_n+1=S_n+4a_n+3，可得a_n+1=4a_n+3，变形为：a_n+1+1=4（a_n+1），利用等比数列的定义即可证明．
（II）由（I）可得：a_n+1=$\frac{4}{3}$×4^n-1，即a_n=$\frac{1}{3}×{4}^{n}$-1．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 I）证明：∵S_n+1=S_n+4a_n+3，∴a_n+1=4a_n+3，变形为：a_n+1+1=4（a_n+1），
∴{a_n+1}是等比数列，首项为$\frac{4}{3}$，公比为4；
（II）解：由（I）可得：a_n+1=$\frac{4}{3}$×4^n-1，∴a_n=$\frac{1}{3}×{4}^{n}$-1．
∴数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{3}×\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$-n=$\frac{{4}^{n+1}-4}{9}$-n．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．