Question

（本小题满分12分）
已知是边长为2的等边三角形，平面，，是上一动点．
（1）若是的中点，求直线与平面所成的角的正弦值；
（2）在运动过程中，是否有可能使平面？请说明理由．

Answer 1

（1）解：取AC中点E，AP的中点F，连结FE、BE、则FE∥PC，BE A C

∴FE面ABC
建立如图所示的空间直角坐标系，则                                 
A(0,-1,0)   B(,0,0)  C(0,1,0)   P (0,1,)   F (0,1,)   …………2分
设是平面PBC的法向量，，则＝0，且＝0，∴且
取＝－1，＝－，＝0，则             …………4分
由题设是的中点，则D与F重合，即D的坐标为(0,1,)
∴
                           …………6分
∴直线BD与面PBC所成角正弦值为                         …………7分（2）(0,2,) (-,1,0)                      …………9分
20 ∴AP不垂直于BC
∴AP不可能垂直于面DBC，即不存在D点，使AP面DBC       …………12分

解析