Question

12．如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．
（1）求y关于x的函数解析式，并指出定义域；
（2）如果中转站四堵围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？

Answer 1

分析 （1）根据题意得AB=y且AC=y-1，在Rt△BCF中，BC=2CF=2x．然后在△ABC中利用余弦定理AC²=AB²+BC²-2•AB•BC•cosB的式子建立关于x、y的等式，解出用x表示y的式子，即可得到y关于x的函数解析式以及函数的定义域；
（2）由（1）求出的函数关系式，结合题意得出总造价M=$\frac{12{x}^{2}-3}{x-1}$-3+4x．然后换元：令x-1=t，化简得到M=16t+$\frac{9}{t}$+25，利用基本不等式算出当t=$\frac{3}{4}$时，M的最小值为49．由此即可得出当总造价M最低时，相应的x值．

解答 解：（1）∵AB=y，AB=AC+1，∴AC=y-1．
∵在Rt△BCF中，CF=x，∠ABC=60°，
∴∠CBF=30°，可得BC=2x．
由于2x+y-1＞y，得x$＞\frac{1}{2}$．
在△ABC中，根据余弦定理AC²=AB²+BC²-2•AB•BC•cosB，
可得（y-1）²=y²+（2x）²-2y•2x•cos60°，
即（y-1）²=y²+4x²-2xy，解得y=$\frac{4{x}^{2}-1}{2（x-1）}$．
∵y＞0且x$＞\frac{1}{2}$，∴x＞1．
可得y关于x的函数解析式为y=$\frac{4{x}^{2}-1}{2（x-1）}$，（x＞1）．函数的定义域为（1，+∞）．
（2）由题意，可得总造价M=3[y+（y-1）]+4x=$\frac{12{x}^{2}-3}{x-1}$-3+4x．
令x-1=t，则M=$\frac{12（t+1）^{2}-3}{t}$-3+4（t+1）=16t+$\frac{9}{t}$+25≥$2\sqrt{16t•\frac{9}{t}}+25$=49，
当且仅当16t=$\frac{9}{t}$，即t=$\frac{3}{4}$时，M的最小值为49．
此时x=t+1=$\frac{7}{4}$，y=$\frac{4{x}^{2}-1}{2（x-1）}$=$\frac{15}{2}$．
答：当x的值为$\frac{7}{4}$时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．

点评 本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系是解决本题的关键．同时考查了运算基本不等式求最值和余弦定理及其应用等知识，属于中档题．