[题目]已知椭圆过点.其长轴.焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q.P.与椭圆分别交于点M.N.各点均不重合且满足．求椭圆的标准方程,若.试证明:直线l过定点并求此定点．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知椭圆过点，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足．

求椭圆的标准方程；

若，试证明：直线l过定点并求此定点．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆的方程．

（2）由题意设，，，，设l方程为，由已知条件推导出，，由此能证明直线l过定点并能求出此定点．

解：椭圆过点，

，设焦距为2c，

长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列，

，又

解得

椭圆的方程为

由题意设，，，，

设l方程为，

由，知

，由题意，，

同理由知，，

，，

联立，得，

需

且有，

代入得，，

直线与轴正半轴和轴分别交于点Q、P，

由题意，满足，

得方程为，过定点，即为定点

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