【题目】(1)已知是奇函数,求常数m的值;
(2)画出函数的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程
无解?有一解?有两解?
【答案】(1)见解析; (2)当k=0或k1时,方程有一解; 当0<k<1时,方程有两解。
【解析】
(1)先求出函数的定义域,再利用奇函数的定义,代入一对相反变量即可直接求常数m的值;
(2)先取绝对值画出分段函数图象,再利用函数的零点即为对应的两个函数图象的交点,把y=k在图象上进行上下平移由两个函数图象交点个数即可找到结论.
(1)
函数定义域是
又函数是奇函数,
,即
解得:m=1
(2)函数图像如图:
方程根的个数即为函数
与函数y=k交点的个数,由(1)中函数图像可知:
当k<0时,直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解;
当k=0或k1时, 直线y=k与函数
的图象有唯一的交点,所以方程有一解;
当0<k<1时, 直线y=k与函数的图象有两个不同交点,所以方程有两解.
综上所述:k<0时,方程无解;k=0或k1方程有一解; 0<k<1方程有两解.
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【题目】已知直线是抛物线
的准线,直线
,且
与抛物线
没有公共点,动点
在抛物线
上,点
到直线
和
的距离之和的最小值等于2.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)点在直线
上运动,过点
做抛物线
的两条切线,切点分别为
,在平面内是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,请求出定点
的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,一张坐标纸上已作出圆及点
,折叠此纸片,使
与圆周上某点
重合,每次折叠都会留下折痕,设折痕与直线
的交点为
,令点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若直线与轨迹
交于
、
两点,且直线
与以
为直径的圆相切,若
,求
的面积的取值范围.
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【题目】如图,已知双曲线C1: ,曲线C2:|y|=|x|+1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C1 , C2都有公共点,则称P为“C1﹣C2型点”
(1)在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线y=kx与C2有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1﹣C2型点”;
(3)求证:圆x2+y2= 内的点都不是“C1﹣C2型点”
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【题目】已知函数的图象过点
.
(1)求的值并求函数
的值域;
(2)若关于的方程
有实根,求实数
的取值范围;
(3)若函数,则是否存在实数
,使得函数
的最大值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】袋中装有个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出
个球,至少得到
个白球的概率是
.
(1)求白球的个数;
(2)从袋中任意摸出个球,记得到白球的个数为
,求随机变量
的分布列和数学期望.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
过点
,其参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若曲线与
相交于
,
两点,求
的值.
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【题目】已知函数 .
(1)当x∈(0,1)时,求f(x)的单调性;
(2)若h(x)=(x2﹣x)f(x),且方程h(x)=m有两个不相等的实数根x1 , x2 . 求证:x1+x2>1.
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