Question

【题目】已知直线是抛物线的准线，直线，且与抛物线没有公共点，动点在抛物线上，点到直线和的距离之和的最小值等于2.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）点在直线上运动，过点做抛物线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出定点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在定点，使得恒成立

【解析】试题分析：（Ⅰ）作分别垂直和，垂足为，抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可得的最小值即为点到直线的距离，故，从而可得结果；（Ⅱ）设， ， ， ，利用导数得到切线斜率，可设出切线方程，根据点在切线上可得到和是一元二次方程的根，利用韦达定理以及平面向量数量积公式，可得时，从而可得结论.

试题解析：（Ⅰ）作分别垂直和，垂足为，抛物线的焦点为，

由抛物线定义知，所以，

显见的最小值即为点到直线的距离，故，

所以抛物线的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线的方程为，当点在特殊位置时，显见两个切点关于轴对称，故要使得，点必须在轴上．

故设， ， ， ，

抛物线的方程为，求导得，所以切线的斜率，

直线的方程为，又点在直线上，

所以，整理得，

同理可得，

故和是一元二次方程的根，由韦达定理得，

，

可见时， 恒成立，

所以存在定点，使得恒成立．