【题目】已知四棱锥的底面
是正方形,
底面
.
(1)求证:直线平面
;
(2)当的值为多少时,二面角
的大小为
?
【答案】(1)证明见解析;(2)1.
【解析】分析:(1)由线面垂直的性质可得,由正方形的性质可得
,由线面垂直的判定定理可证
平面
;(2)设
,以
为原点,
,
,
所在直线分别为
,
,
轴建立空间直角坐标系
,设
,分别利用向量垂直数量积为零列方程组,求出平面
的法向量与平面
的法向量,由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.
详解:(1)证明:∵平面
,
平面
,∴
,
∵四边形是正方形,∴
,
,∴
平面
.
(2)解:设,以
为原点,
,
,
所在直线分别为
,
,
轴建立空间直角坐标系
,为计算方便,不妨设
,则
,
,
,
,
则,
,
.
设平面的法向量为
,则
,
令,则
,
,∴
.
设平面的法向量为
,
,
令,又
,则
,∴
.
要使二面角的大小为
,必有
,
∴,∴
,∴
.
即当时,二面角
的大小为
.
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【题目】某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标),并由最小二乘法计算得到回归直线
的方程:
,相关系数为
,相关指数为
;经过残差分析确定点
为“离群点”(对应残差过大的点),把它去掉后,再用剩下的5组数据计算得到回归直线
的方程:
,相关系数为
,相关指数为
.则以下结论中,不正确的是( )
A. ,
B.
,
C. D.
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【题目】如图,四边形为梯形,
平面
,
,
为
中点.
(1)求证:平面平面
;
(2)线段上是否存在一点
,使
平面
?若存在,找出具体位置,并进行证明:若不存在,请分析说明理由.
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【题目】已知直线是抛物线
的准线,直线
,且
与抛物线
没有公共点,动点
在抛物线
上,点
到直线
和
的距离之和的最小值等于2.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)点在直线
上运动,过点
做抛物线
的两条切线,切点分别为
,在平面内是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,请求出定点
的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图是某市年
月
日至
日的空气质量指数趋势图,某人随机选择
年
月
日至
月
日中的某一天到达该市,并停留
天.
(1)求此人到达当日空气质量指数大于的概率;
(2)设是此人停留期间空气质量指数小于
的天数,求
的分布列与数学期望;
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
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【题目】已知函数f(x)=lnx+ax2
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a>1,若对任意x1 , x2∈(0,+∞),恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,求a的取值范围.
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【题目】如图,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,连接A′C′,A′D,A′B,BD,BC′,C′D,得到一个三棱锥.求:
(1)三棱锥A′-BC′D的表面积与正方体表面积的比值;
(2)三棱锥A′-BC′D的体积.
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【题目】如图,一张坐标纸上已作出圆及点
,折叠此纸片,使
与圆周上某点
重合,每次折叠都会留下折痕,设折痕与直线
的交点为
,令点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若直线与轨迹
交于
、
两点,且直线
与以
为直径的圆相切,若
,求
的面积的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
过点
,其参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若曲线与
相交于
,
两点,求
的值.
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