Question

【题目】已知a是实数，函数f（x）=x2（x﹣a）． （Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）f'（x）=3x2﹣2ax．因为f'（1）=3﹣2a=3，所以a=0． 又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，则切点坐标（1，1），斜率为3
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1）化简得3x﹣y﹣2=0．
（II）令f'（x）=0，解得 ．
当 ，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而fmax=f（2）=8﹣4a．
当 时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而fmax=f（0）=0．
当 ，即0＜a＜3，f（x）在 上单调递减，在 上单调递增，从而
综上所述，fmax=
【解析】（I）求出f'（x），利用f'（1）=3得到a的值，然后把a代入f（x）中求出f（1）得到切点，而切线的斜率等于f'（1）=3，写出切线方程即可；（II）令f'（x）=0求出x的值，利用x的值分三个区间讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．