Question

若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x²，x∈[1，2]与函数y=x²，x∈[-2，-1]即为“同族函数”．下面函数中，解析式能够被用来构造“同族函数”的有

①④⑤

 （填入函数对应的序号）
①y=x²-2x+3；   ②y=x³；   ③y=log₂x；   ④y=

ex+e-x

2

；   ⑤y=|2^x-1|

Answer 1

分析：由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调．由此判断各个函数在其定义域上的单调性，即可得到①④⑤中的函数是符合题意的，而②③中的两个函数在其定义域上是增函数，不符合题意．

解答：解：根据题意，“同族函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．
因此，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调．
∵函数y=x²-2x+3在（-∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴y=x²-2x+3能够被用来构造“同族函数”，故①正确；
∵函数y=x³在（-∞，+∞）上是增函数，
∴y=x³不能够被用来构造“同族函数”，故②不正确；
∵函数y=log₂x在（0，+∞）上是增函数；
∴y=log₂x不能够被用来构造“同族函数”，故③不正确；
∵函数y=

ex+e-x

2

在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，
∴y=

ex+e-x

2

能够被用来构造“同族函数”，故④正确；
∵函数y=|2^x-1|在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，
∴y=|2^x-1|能够被用来构造“同族函数”，故⑤正确．
综上所述，能够被用来构造“同族函数”的函数有①④⑤
故答案为：①④⑤

点评：本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查了基本初等函数的单调性的知识点，属于中档题．