Question

14．设函数f（x）=x³+ax²-9x在点x=1处有极值．
（1）求常数a的值；
（2）求函数在区间[-2，2]上的最值．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的极值得关系即可求出a的值，
（2）由函数f（x）在（1，2]单调递增，在[-2，1）上单调递减，分别求出端点值和极小值，即可求出最值．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax²-9x，
∴f′（x）=3x²+2ax-9，
∵函数f（x）=x³+ax²-9x在点x=1处有极值，
∴1是3x²+2ax-9=0的根，
∴3+2a-9=0，
解得a=3；
（2）由于f′（x）=3x²+6x-9，x∈[-2，2]，
令f′（x）=3x²+6x-9=0，解得x=1或x=-3（舍去），
当f′（x）＞0，即1＜x≤2时，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，即-2≤x≤1时，函数f（x）单调递减，
∵f（x）=x³+3x²-9x在点x=1处有极值，
∴f（x）_min=f（1）=1+3-9=-5，
∵f（-2）=-8+12+18=22，f（2）=8+12-18=2，
∴f（x）_max=22．

点评 本题考查了导数和函数的极值最值的关系，掌握求最值的步骤是关键，属于中档题．