Question

15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且S_△ABC=bccosA．
（1）求tan2A的值；
（2）若b²=a²+c²-$\sqrt{2}$ac，b=$\sqrt{5}$，求c．

Answer 1

分析 （1）由题意和三角形的面积公式求出tanA的值，由二倍角的正切公式求出tan2A的值；
（2）由题意和余弦定理求出cosB，由内角的范围和特殊角的余弦值求出B，由同角三角函数的基本关系求出sinA，由正弦定理求出边a，代入b²=a²+c²-$\sqrt{2}$ac求出c的值．

解答 解：（1）由题意知，S_△ABC=bccosA，
则$\frac{1}{2}$bcsinA=bccosA，则sinA=2cosA，即tanA=2，
所以tan2A=$\frac{2tanA}{1-ta{n}^{2}A}$=$\frac{4}{1-4}$=-$\frac{4}{3}$；
（2）因为b²=a²+c²-$\sqrt{2}$ac，所以a²+c²-b²=$\sqrt{2}$ac，
由余弦定理得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜B＜π得，B=$\frac{π}{4}$，
由（1）知tanA=2，则$\left\{\begin{array}{l}{sinA=2cosA}\\{si{n}^{2}A+co{s}^{2}A=1}\end{array}\right.$，
解得sinA=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
因为sinA＞0，所以sinA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由正弦定理得，$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$，a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$，
代入b²=a²+c²-$\sqrt{2}$ac得，5=8+c²-4c，则c²-4c+3=0，
解得c=3或1．

点评 本题考查正弦、余弦定理，同角三角函数的基本关系，三角形的面积公式，二倍角的正切公式等，考查公式较多，但难度不大，注意内角的范围．