【题目】如图,在直角梯形中,
,
,
.直角梯形
通过直角梯形
以直线
为轴旋转得到,且使平面
平面
.
为线段
的中点,
为线段
上的动点.
(1)求证: ;
(2)当点是线段
中点时,求二面角
的余弦值;
(3)是否存在点,使得直线
平面
?请说明理由.
【答案】(1)见解析(2) (3)存在点
,使得直线
平面
【解析】试题分析:(Ⅰ)由平面
平面
..推出
平面
.即可证明
.
(Ⅱ)以AC,AB,AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,求出平面ABM的一个法向量,平面APM的一个法向量,利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值.
(Ⅲ)存在点P,使得直线A1C∥平面AMP.设P(x1,y1,z1),求出平面AMP的一个法向量,求出,利用
.求出λ,即可证明结果.
试题解析:
(1)由已知,平面
平面
平面
,平面
平面
所以平面
又平面
所以
(2)由(1)可知,
,
两两垂直.
分别以,
,
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系如图所示.
由已知
所以,
,
,
,
因为为线段
的中点,
为线段
的中点.
所以,
易知平面的一个法向量
设平面的一个法向量为
由得
取,得
由图可知,二面角的大小为锐角,
所以
所以二面角的余弦值为
(3)存在点,使得直线
平面
设,且
,
,则
所以,
,
.所以
设平面的一个法向量为
,
由得
取,得
(
不符合题意)
又若
平面
,则
所以,所以
所以存在点,使得直线
平面
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【题目】已知圆C1:x2+y2-4x-2y-5=0与圆C2:x2+y2-6x-y-9=0.
(1)求证:两圆相交;(2)求两圆公共弦所在的直线方程;
(3)在平面上找一点P,过P点引两圆的切线并使它们的长都等于.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABNCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE= ,∠BAD=60°,G为BC的中点.
(1)求证:FG∥平面BED;
(2)求证:平面BED⊥平面AED;
(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
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【题目】如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC;
(2)求证:平面MOC⊥平面VAB
(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.
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【题目】下列几个命题
①方程有一个正实根,一个负实根,则
;
②函数是偶函数,但不是奇函数;
③命题“若,则
”的否命题为“若
,则
”;
④命题“,使得
”的否定是“
,都有
”;
⑤“”是“
”的充分不必要条件.
正确的是__________.
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【题目】已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】已知圆心在轴上的圆
与直线
切于点
.圆
:
.
(1)求圆的标准方程;
(2)已知,圆
与
轴相交于两点
(点
在点
的右侧).过点
任作一条倾斜角不为0的直线与圆
相交于
两点.问:是否存在实数
,使得
?若存在,求出实数
的值,若不存在,请说明理由.
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