Question

已知关于x的不等式

a-x

x+1

≥0的解集为P，不等式|x-1|＜1的解集为Q．
（1）若a=3，求P；
（2）若P∪Q=P，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=3代入

a-x

x+1

≥0，得

x-3

x+1

≤0，根据积商符号法则即可求解该不等式；
（2）根据绝对值不等式的解法求出Q，根据P∪Q=P得到Q⊆P，列出关于a的不等式，解此不等式即可求得正数a的取值范围．

解答：解：（1）a=3，由

3-x

x+1

≥0，得

x-3

x+1

≤0（2分）
所以P={x|-1＜x≤3}（4分）
（2）Q={x||x-1|＜1}={x|0＜x＜2}（6分）
∵a＞0，∴P={x|-1＜x≤a}（8分）
∵P∪Q=P，∴Q⊆P（10分）
所以a≥2，即a的取值范围是[2，+∞）（12分）

点评：此题是个中档题．考查分式不等式解法和集合交集与子集之间的转化，是解决此题的关键，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题能力和计算能力．