Question

设f(x)=kx-2lnx.

(1)求f(e)+f()(e为自然对数的底数)的值；

(2)若f(x)在其定义域内为单调函数，求k的取值范围.

Answer 1

解:(1)∵f(x)=kx-2lnx,

又f(e)=ke-2lne=ke-2,f()=-ke-2ln-ke+2,

∴f(e)+f()=0.

(2)方法一：由f(x)=kx-2lnx得

f′(x)=k+=.

令h(x)=kx²-2x+k,要使f(x)在其定义域(0，+∞)上单调,

只需h(x)在(0,+∞)内满足h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.

①由h(x)≥0得kx²-2x+k≥0,即k≥=在x∈(0,+∞)上恒成立.

∵x＞0知x+＞0,∴k≤0.综上k的取值范围为k≥1或k≤0.

∵x＞0,∴x+＞2.∴k≥1.

②由h(x)≤0得k≤=在x∈(0,+∞)上恒成立.

∵x＞0知x+＞0,∴k≤0.

综上k的取值范围为k≥1或k≤0.

方法二：由f(x)=kx-2lnx,得f′(x)=k+=.

令h(x)=kx²-2x+k,要使f(x)在其定义域(0，+∞)内为单调函数，只需h(x)在(0，+∞)内满足h(x)≥0或h(x)≤0恒成立

①当k=0时，h(x)=-2x,∵x＞0,∴h(x)＜0.∴f′(x)=＜0.

∴f(x)在(0，+∞)内为单调递减函数，故k=0适合题意.

②当k＞0时，h(x)=kx²-2x+k,其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=∈(0,+∞).

∴h(x)_min=k.只需k≥0,即k≥1时h(x)≥0,f′(x)≥0,

∴f(x)在(0,+∞)内为单调递增函数，故k≥1适合题意.

③当k＜0时，h(x)=kx²-2x+k,其图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=(0,+∞),只需k(0)≤0,即k≤0时h(x)≤0,f′(x)≤0,

∴f(x)在(0,+∞)内为单调递减函数，故k＜0适合题意.

综上可得，k≥1或k≤0.