Question

设f(x)=kx-

k

x

-2lnx．
（1）若f'（2）=0，求过点（2，f（2））的切线方程；
（2）若f（x）在其定义域内为单调增函数，求k的取值范围．

Answer 1

（1）∵f(x)=kx-

k

x

-2lnx，
∴f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

∴f'（2）=0即

4k-4+k

4

=0，解之得k=

4

5

，
可得f（2）=2k-

k

2

-2ln2=

6

5

-2ln2
∴曲线y=f（x）过点（2，f（2））的切线方程为y-（

6

5

-2ln2）=0（x-2），化简得y=

6

5

-2ln2；
（2）由f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

，令h（x）=kx²-2x+k，
要使f（x）在其定义域（0，+∞）上单调递增，
只需h（x）在（0，+∞）内满足：h（x）≥0恒成立．
由h（x）≥0，得kx²-2x+k≥0，即k≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立
∵x＞0，得x+

1

x

≥2，∴

2

x+ 1 x

≤1，得k≥1
综上所述，实数k的取值范围为[1，+∞）．-----------（12分）