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(2011•许昌三模)设f(x)=kx-
k
x
-2lnx

(I)若f′ (1)=-
2
5
,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(II)若k>0,试讨论f(x)的单调性.
分析:(I)先确定参数k的值,再求导函数,确定切线的斜率,求出切点的坐标,即可得到切线方程;
(II)当k>0时,分类讨论.利用导数的正负,可讨论f(x)的单调性.
解答:解:(I)由于f(x)=kx-
k
x
-2lnx
,则f′(x)=k+
k
x2
-
2
x

f′(1)=k+k-2=-
2
5
,解得k=
4
5

f(2)=2×
4
5
-
4
5
2
-2ln2=
6
5
-2ln2且f′(2)=0

∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(
6
5
-2ln2)=0(x-1),即y=
6
5
-2ln2

(II)由(1)知,f′(x)=k+
k
x2
-
2
x
=
kx2-2x+k
x2
(x>0),
当△>0,即0<k<1时,令f′(x)>0,可得0<x<
1-
1-k2
k
x>
1+
1-k2
k

令f′(x)<0,可得
1-
1-k2
k
<x<
1+
1-k2
k

当△≤0,即k≥1时,f′(x)≥0恒成立.
综上,当0<k<1时,函数的单调增区间为(0,
1-
1-k2
k
)
,(
1+
1-k2
k
,+∞);
单调减区间为(
1-
1-k2
k
1+
1-k2
k
);
当k≥1时,函数的单调增区间为(0,+∞).
点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想,正确求导是关键.
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a
=(
1
2
1
2
sinx+
3
2
cosx)
与 
b
=(1,y)
共线,设函数y=f(x).
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π
3
)=
3
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7
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21
7
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1
2
)
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5
9
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