Question

【题目】设常数，函数

（1）当时，判断在上单调性，并加以证明；

（2）当时，研究的奇偶性，并说明理由；

（3）当时，若存在区间使得在上的值域为，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在上是单调递增.证明见解析（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由函数的单调性定义即可证明。

（2）由函数的奇偶性定义即可证明。

（3）首先证明函数的单调性，当时证明函数在上单调递增，即，解关于一元二次方程即可；

同理当时，求出单调区间，当函数是单调递减时，则代入化简即可求解。

解：（1）当时，

任取

则

∵

∴

∴

∴

∵，

∴，

∴，

∴

即：

∴在上是单调递增.

（2）①当时，

∵

∴为偶函数

②当时，

，则

当且时，的定义域为

定义域不关于原点对称

∴为非奇非偶函数

当时，，的定义域为

定义域关于原点对称

∴为奇函数.

（3）①当时，定义域为

∵单调递增，∴单调递减

∴在上单调递增

由题意得：

∴

∴，是一元二次方程：

的两个不等的正根

∴

②当时，定义域为

∵当时，的值域为

∴，

当时，

∵单调递增，∴单调递减

∴在上单调递减

∴

∴

∵

∴

∴

综上所述：的取值范围是.