Question

15．已知函数y=f（x）对于任意的$x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是（　　）

• A． $\sqrt{2}f（\frac{π}{3}）＜f（\frac{π}{4}）$
• B． $\sqrt{2}f（-\frac{π}{3}）＜f（-\frac{π}{4}）$
• C． $f（0）＜\sqrt{2}f（\frac{π}{4}）$
• D． $f（0）＜2f（\frac{π}{3}）$

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）cosx-f（x）cos′（x）}{{cos}^{2}x}$=$\frac{1}{{cos}^{2}x}$[（f′（x）cosx+f（x）sinx]，
∵对任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）单调递增，
则②g（-$\frac{π}{3}$）＜g（-$\frac{π}{4}$），即$\frac{f（-\frac{π}{3}）}{cos（-\frac{π}{3}）}$＜$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{cos（-\frac{π}{4}）}$，
∴$\frac{f（-\frac{π}{3}）}{\frac{1}{2}}$＜$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，即 $\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$））＜f（-$\frac{π}{4}$），故B正确；
③g（0）＜g（$\frac{π}{4}$），即$\frac{f（0）}{cos0}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{cos\frac{π}{4}}$，
∴f（0）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），故③正确；
④g（0）＜g（$\frac{π}{3}$），即 $\frac{f（0）}{cos0}$＜$\frac{f（\frac{π}{3}）}{cos\frac{π}{3}}$，
∴f（0）＜2f（$\frac{π}{3}$），故④正确；
由排除法，
故选：A

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．