Question

7．已知某海滨浴场海浪的高度y（米）是时间t （0≤t≤24，单位：小时）函数，记作：y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：

t（时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	1.41	0.88	0.39	0.91	1.38	0.90	0.42	0.89	1.40

经长期观察，y=f（t）的曲线，可以近似地看成函数y=Acos（ωt）+b的图象．
（1）根据以上数据（对浪高采用精确到0.1的数据），求出函数y=Acos（ωt）+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
（参考数据cos$\frac{7π}{16}$≈0.2）．

Answer 1

分析 （1）根据以上数据（对浪高采用精确到0.1的数据），结合三角函数的性质求出A，ω和b的值m，即可求出函数y=Acos（ωt）+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（2）根据（1）的解析式，解不等式f（t）＞1，即可得到结论．

解答 解：（1）对浪高采用精确到0.1的数据后表格如下：

t（时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	1.4	0.9	0.4	0.9	1.4	0.9	0.4	0.9	1.4

∵同一周期内，当t=12时y_max=1.4，当t=6时y_min=0.4，
∴函数的周期T=2（12-6）=12，得ω=$\frac{2π}{12}$=$\frac{π}{6}$，A=$\frac{1}{2}$（1.5-0.5）=$\frac{1}{2}$，
由t=3，y=0.9得B=0.9，
可得f（t）=$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{6}$t）+$\frac{9}{10}$．
（2）由题意，当y＞1时，才可对冲浪者开放，
则$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{6}$t）+$\frac{9}{10}$＞1，
即cos（$\frac{π}{6}$t）＞$\frac{1}{5}$．又cos$\frac{7π}{12}$≈0.2，
∴2kπ-$\frac{7π}{12}$＜$\frac{π}{6}$t＜2kπ+$\frac{7π}{12}$，k∈Z，
即12k-$\frac{21}{8}$＜t＜12k+$\frac{21}{8}$，k∈Z，
∴在同一天内取k=0、1、2得0≤t＜$\frac{21}{8}$，12-$\frac{21}{8}$＜t＜12+$\frac{21}{8}$，24-$\frac{21}{8}$＜t≤24，
∴在规定时间上午8：00时至晚上20：00时之间，
有（12+$\frac{21}{8}$）-（12-$\frac{21}{8}$）=5.25个小时的时间可供冲浪者进行运动．

点评 本题给出实际应用问题，求函数的近似表达式并求能供冲浪运动的时间段．着重考查了三角函数的解析式求法、三角函数在实际问题中的应用等知识，属于中档题．