Question

16．已知（x+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中前三项的系数成等差数列．
（Ⅰ）求n的值；   
（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题设前三项的系数成等差数列，可得${C}_{n}^{0}$+$\frac{1}{4}$×C${\;}_{n}^{2}$=2×$\frac{1}{2}$C${\;}_{n}^{1}$，由此求得得n的值．
（Ⅱ）设第r+1的系数最大，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{r}}{C}_{8}^{r}≥\frac{1}{{2}^{r+1}}{C}_{8}^{r+1}}\\{\frac{1}{{2}^{r}}{C}_{8}^{r}≥\frac{1}{{2}^{r-1}}{C}_{8}^{r-1}}\end{array}\right.$，求得r的值，可得展开式中系数最大的项．

解答 解：（Ⅰ）由题设，可得 ${C}_{n}^{0}$+$\frac{1}{4}$×C${\;}_{n}^{2}$=2×$\frac{1}{2}$C${\;}_{n}^{1}$，即n²-9n+8=0，解得n=8，n=1（舍）．
（Ⅱ）设第r+1的系数最大，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{r}}{C}_{8}^{r}≥\frac{1}{{2}^{r+1}}{C}_{8}^{r+1}}\\{\frac{1}{{2}^{r}}{C}_{8}^{r}≥\frac{1}{{2}^{r-1}}{C}_{8}^{r-1}}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8-r}≥\frac{1}{2（r+1）}}\\{\frac{1}{2r}≥\frac{1}{9-1}}\end{array}\right.$解得r=2或r=3，
所以系数最大的项为T₃=7x⁵，T₄=7x${\;}^{\frac{9}{2}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．