Question

（本小题满分12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．

（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？

（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战．根据活动规定，现记为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求的分布列和均值（数学期望）．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）的分布列为

	0	1	2	3	4	5	6

数学期望为3．

【解析】

试题分析：

解法一：（Ⅰ）此题可看做古典概率模型，列举法出3个人参与该项活动的可能结果和至少有2个人接受挑战的可能结果，即可求出（Ⅱ）每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为，故的可能取值为1,2,3,4,5，6，求出、

、、、、、、，进而列出分布列，根据可得均值．

解法二：（Ⅰ）排列组合的方法，至少有2个人接受挑战分为两种情况，恰有两人接收挑战和恰有三人接收挑战，因而得到（Ⅱ）由题意分析可知， ，在次独立重复试验中，事件发生次的概率为（=6，=1,2,3,4,5,6）可得、

、、、、、、，进而列出分布列，求均值见解法一．

试题解析：解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为、、，则分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：，，，，，，，．共有8种； 2分

其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：，，，，共有4种． 3分

根据古典概型的概率公式，所求的概率为． 4分

（说明：若学生先设“用中的依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成,,，,,,,，不扣分．）

（Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，

所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为． 5分

所以，，

，，

，，

9分

故的分布列为：

	0	1	2	3	4	5	6

所以．

故所求的期望为． 12分

解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，

所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为． 1分

（Ⅰ）设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，

则． 4分

（Ⅱ）因为为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以． 5分

所以，，

，，

，，

9分

故的分布列为： 10分

	0	1	2	3	4	5	6

所以．故所求的期望为． 12分

考点：1、古典概型；2、离散型随机变量；3、二项分布；4、均值．