精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(本题满分12分)已知函数
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称;
证明:当时,
(3)如果,证明
(Ⅰ)在区间内是增函数,在区间内是减函数.
函数处取得极大值.且
(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析。
本试题主要是考查了运用导数研究函数的性质的综合运用。
(1)利用导数,结合导数的符号与函数单调性的关系得到第一问中的单调区间和极值问题。
(2)先利用对称性求解函数的解析式,然后构造函数证明不等式恒成立,或者利用第一问的结论,结合对称性得到证明。
(3)由上可知函数的的单调性,结合性质可知不等式的证明。
(Ⅰ).令,则
变化时,的变化情况如下表:










极大值

所以在区间内是增函数,在区间内是减函数.
函数处取得极大值.且
(Ⅱ)因为函数的图象与函数的图象关于直线对称,
所以,于是
,则
时,,从而,又,所以
于是函数在区间上是增函数.
因为,所以,当时,.因此
(Ⅲ)(1) 若,由(Ⅰ)及,得,与矛盾;
(2) 若,由(Ⅰ)及,得,与矛盾;
根据(1),(2)可得.不妨设
由(Ⅱ)可知,所以
因为,所以,又,由(Ⅰ),在区间内是增函数,
所以 ,即
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数
(1)若,试确定函数的单调区间;
(2)若且对任意恒成立,试确定实数的取值范围;
(3)设函数,求证:

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

求函数在区间上的最值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知是函数的一个极值点。
(Ⅰ)求
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分14分)
设函数
⑴当且函数在其定义域上为增函数时,求的取值范围;
⑵若函数处取得极值,试用表示
⑶在⑵的条件下,讨论函数的单调性。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=ln x-.
(1)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值;
(3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分14分)
设函数,且,其中是自然对数的底数.
(1)求的关系;
(2)若在其定义域内为单调函数,求的取值范围;
(3)设,若在上至少存在一点,使得成立,求实数
取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

是定义在R上的奇函数,且,当x>0时,有的导数小于零恒成立,则不等式的解集是(    )
A.(一2,0)(2,+ B.(一2,0)(0,2)
C.(-,-2)(2,+ D.(-,-2)(0,2)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)已知其中是自然对数的底 .
(1)若处取得极值,求的值;
(2)求的单调区间;
(3)设,存在,使得成立,求 的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案