本试题主要是考查了导数在研究函数性质中的运用,求解极值和单调区间,以及证明不等式的总额和运用。
(1)
.
由已知
, 解得
.
(2)因为
,对于参数a大于零还是小于零,还是等于零分情况讨论得到单调性。
(3)当
时,由(Ⅱ)知
的最小值是
;
易知
在
上的最大值是
,则转换为不等式组得到结论。
解: (Ⅰ)
.
由已知
, 解得
.
经检验,
符合题意. ………… 3分
(Ⅱ)
.
1) 当
时,
在
上是减函数.
2)当
时,
.
① 若
,即
,
则
在
上是减函数,在
上是增函数;
②若
,即
,则
在
上是减函数.
综上所述,当
时,
的减区间是
,
当
时,
的减区间是
,增区间是
. ……… 7分
(III)当
时,由(Ⅱ)知
的最小值是
;
易知
在
上的最大值是
;
注意到
,
故由题设知
解得
.故
的取值范围是
. ……… 12分