Question

（2013•崇明县二模）已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则

AM

•

AO

的值等于

5

．

Answer 1

分析：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可得E、F分别是AB、AC的中点．根据Rt△AOE中余弦的定义，算出

AB

•

AO

=

1

2

|AB|

2=8，同理得

AC

•

AO

=

1

2

|AC|

2=2．再由M是BC边的中点，可得

AM

•

AO

=

1

2

(

AB

+

AC

)•

AO

=

1

2

（8+2）=5．

解答：解：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则E、F分别是AB、AC的中点
可得Rt△AEO中，cos∠OAE=

|AE|

|AO|

=

|AB|

2 |AO|

∴

AB

•

AO

=

|AB|

•

|AO|

•

|AB|

2 |AO|

=

1

2

|AB|

2=8，
同理可得

AC

•

AO

=

1

2

|AC|

2=2
∵M是BC边的中点，可得

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)，
∴

AM

•

AO

=

1

2

(

AB

+

AC

)•

AO

=

1

2

（

AB

•

AO

+

AC

•

AO

）=

1

2

×10=5
故答案为：5

点评：本题将△ABC放在它的外接圆O中，求中线AM对应的向量

AM

与

AO

的数量积之值，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆等知识，属于中档题．