Question

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-2，0）、B（2，0），M是动点，且直线MA与直线MB的斜率之积为-，设动点M的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）过定点T（-1，0）的动直线l与曲线C交于P，Q两点，若S（-，0），证明：•为定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：设M点坐标为（x，y）（x≠±2）
∵定点A（-2，0）、B（2，0），直线MA与直线MB的斜率之积为-，
∴，
∴（x≠±2）
（Ⅱ）证明：当动直线l的斜率不存在时，P（-1，），Q（-1，-），若S（-，0），．
当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），联立方程组，消去y得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-，x1+x2=
∴=（x₁+），=（x₂+），
∴=（x₁+）•（x₂+）=+=．
分析：（Ⅰ）根据定点A（-2，0）、B（2，0），直线MA与直线MB的斜率之积为-，建立方程，化简可得结论；
（Ⅱ）当动直线l的斜率不存在时，P（-1，），Q（-1，-），可得；当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程联立方程组，消去y得一元二次方程，利用韦达定理及向量的数量积运算，可得结论．
点评：本题考查轨迹方程的求解，考查存在性问题的探究，解题的关键是用坐标表示出，进而确定定值．