【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数的图像与
轴相切,求证:对于任意互不相等的正实数
,
,都有
.
【答案】(1)当时,
在
上单调递增;
当时,
在
单调递增,在
上单调递减.,(2)见解析
【解析】
(1)求导函数,按
和
分类讨论,确定
的正负,从而确定单调性;
(2)由(1)知时
有极值,才可能满足题意,极大值为0,求得
,
.不妨设
,则
,等价于
,即证:
令,由于
,因此只要证得
(
)即可.
(1)函数的定义域为
,
.
当时,
,
在
上单调递增;
当时,由
,得
.
若,
,
单调递增;
若,
,
单调递减
综合上述:当时,
在
上单调递增;
当时,
在
单调递增,在
上单调递减.
(2)由(1)知,当时,
在
上单调递增,不满足条件;
当时,
的极大值为
,
由已知得,故
,此时
.
不妨设,则
等价于,即证:
令,
故在
单调递减,所以
.
所以对于任意互不相等的正实数,都有
成立
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏,每次由一个小孩与其一位家长参与,测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中,主持人给出A,B,C,D四种食物,要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序,然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD,家长猜测的序号依次为yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.
(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.
(ⅰ)求他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率;
(ⅱ)求X的分布列(简要说明方法,不用写出详细计算过程);
(2)若有一组小孩和家长进行来三轮游戏,三轮的结果都满足X<4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市房管局为了了解该市市民年
月至
年
月期间买二手房情况,首先随机抽样其中
名购房者,并对其购房面积
(单位:平方米,
)进行了一次调查统计,制成了如图
所示的频率分布直方图,接着调查了该市
年
月至
年
月期间当月在售二手房均价
(单位:万元/平方米),制成了如图
所示的散点图(图中月份代码
分别对应
年
月至
年
月).
(1)试估计该市市民的购房面积的中位数;
(2)从该市年
月至
年
月期间所有购买二手房中的市民中任取
人,用频率估计概率,记这
人购房面积不低于
平方米的人数为
,求
的数学期望;
(3)根据散点图选择和
两个模型进行拟合,经过数据处理得到两个回归方程,分别为
和
,并得到一些统计量的值如下表所示:
请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好,并用拟合效果更好的模型预测出
年
月份的二手房购房均价(精确到
)
(参考数据),
,
,
,
,
,
.
(参考公式).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:极坐标与参数方程
在极坐标系下,已知圆O:和直线
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直角梯形与等腰直角三角形
所在的平面互相垂直.
,
,
,
.
(1) 求证:;
(2) 求直线与平面
所成角的正弦值;
(3) 线段上是否存在点
,使
平面
若存在,求出
;若不存在,说明理由.
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【题目】已知抛物线上一点
到其焦点的距离为
.
(1)求与
的值;
(2)若斜率为的直线
与抛物线
交于
、
两点,点
为抛物线
上一点,其横坐标为1,记直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,试问:
是否为定值?并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某厂销售部以箱为单位销售某种零件,每箱的定价为元,低于
箱按原价销售,不低于
箱则有以下两种优惠方案:①以
箱为基准,每多
箱送
箱;②通过双方议价,买方能以优惠
成交的概率为
,以优惠
成交的概率为
.
甲、乙两单位都要在该厂购买
箱这种零件,两单位都选择方案②,且各自达成的成交价格相互独立,求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率;
某单位需要这种零件
箱,以购买总价的数学期望为决策依据,试问该单位选择哪种优惠方案更划算?
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