Question

已知复数z₁=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z₂=2+4i且z=

.

z1

i-z2．
（1）若复数z₁对应的点M（m，n）在曲线y=-

1

2

(x+3)2-1上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；
（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量

a

=(

3

2

，1)方向平移

13

2

个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；
（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据复数条件求出关系式

n=x+2 m=y+4

，结合复数z₁对应的点M（m，n）在曲线y=-

1

2

(x+3)2-1上运动即可得出复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；
（2）先按向量

a

=(

3

2

，1)方向平移

13

2

个单位得到即为向 x 方向移动 1×

3

2

=

3

2

个单位，向 y 方向移动 1×1=1 个单位，再进行函数式的变换即可得出C的轨迹方程；
（3）设A（x₀，y₀），斜率为k，切线y-y₀=k（x-x₀） 代入（y+6）²=-2x-3消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根的判别式为0利用向量的数量即可求得定点，从而解决问题．

解答：解：（1）∵

.

z1

i-z₂=（m-ni）•i-（2+4i）=（n-2）+（m-4）i；
∴

x=n-2 y=m-4

⇒

n=x+2 m=y+4

．
∵复数z₁对应的点M（m，n）在曲线y=-

1

2

(x+3)2-1上运动
∴x+2=-

1

2

（y+7）²-1⇒（y+7）²=-2（x+3）．
复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程：（y+7）²=-2（x+3）．
（2）∵按向量

a

=(

3

2

，1)方向平移

13

2

个单位，

( 3 2 ) 2+12

=

13

2

=1×

13

2

．
即为向 x 方向移动 1×

3

2

=

3

2

个单位，向 y 方向移动 1×1=1 个单位
（y+7）²=-2（x+3）⇒y+7=±

-2(x+3)

．
得轨迹方程 y+7=±

-2(x- 3 2 +3)

+1⇒（y+6）²=-2（x+

3

2

）=-2x-3．
C的轨迹方程为：（y+6）²=-2x-3．
（3）设A（x₀，y₀），斜率为k，切线y-y₀=k（x-x₀） （k≠0），
代入（y+6）²=-2x-3整理得：
（y+6）²=-2（

y-y 0

k

+x 0）-3，△=0⇒k=

x 0

2

，
设定点M（1，0），且

AM

•

BM

=0．
∴以线段AB为直径的圆恒过一定点M，M点的坐标（1，0）．

点评：本小题主要考查抛物线的简单性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，本题巧妙地把点的轨迹方程和复数有机地结合在一起，解题时要注意复数的合理运用．