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已知复数z1=m+ni(m,n∈R),z=x+yi(x,y∈R),z2=2+4i且z=
.
z1
i-z2

(1)若复数z1对应的点M(m,n)在曲线y=-
1
2
(x+3)2-1
上运动,求复数z所对应的点P(x,y)的轨迹方程;
(2)将(1)中的轨迹上每一点按向量
a
=(
3
2
,1)
方向平移
13
2
个单位,得到新的轨迹C,求C的轨迹方程;
(3)过轨迹C上任意一点A(异于顶点)作其切线,交y轴于点B,求证:以线段AB为直径的圆恒过一定点,并求出此定点的坐标.
分析:(1)根据复数条件求出关系式
n=x+2
m=y+4
,结合复数z1对应的点M(m,n)在曲线y=-
1
2
(x+3)2-1
上运动即可得出复数z所对应的点P(x,y)的轨迹方程;
(2)先按向量
a
=(
3
2
,1)
方向平移
13
2
个单位得到即为向 x 方向移动 1×
3
2
=
3
2
个单位,向 y 方向移动 1×1=1 个单位,再进行函数式的变换即可得出C的轨迹方程;
(3)设A(x0,y0),斜率为k,切线y-y0=k(x-x0) 代入(y+6)2=-2x-3消去x得到关于y的一元二次方程,再结合根的判别式为0利用向量的数量即可求得定点,从而解决问题.
解答:解:(1)∵
.
z1
i-z2=(m-ni)•i-(2+4i)=(n-2)+(m-4)i;
x=n-2
y=m-4
n=x+2
m=y+4

∵复数z1对应的点M(m,n)在曲线y=-
1
2
(x+3)2-1
上运动
∴x+2=-
1
2
(y+7)2-1⇒(y+7)2=-2(x+3).
复数z所对应的点P(x,y)的轨迹方程:(y+7)2=-2(x+3).
(2)∵按向量
a
=(
3
2
,1)
方向平移
13
2
个单位,
(
3
2
) 2+12
=
13
2
=1×
13
2

即为向 x 方向移动 1×
3
2
=
3
2
个单位,向 y 方向移动 1×1=1 个单位
(y+7)2=-2(x+3)⇒y+7=±
-2(x+3)

得轨迹方程 y+7=±
-2(x-
3
2
+3)
+1
⇒(y+6)2=-2(x+
3
2
)=-2x-3.
C的轨迹方程为:(y+6)2=-2x-3.
(3)设A(x0,y0),斜率为k,切线y-y0=k(x-x0) (k≠0),
代入(y+6)2=-2x-3整理得:
(y+6)2=-2(
y-y 0
k
+x 0
)-3,△=0⇒k=
x 0
2

设定点M(1,0),且
AM
BM
=0

∴以线段AB为直径的圆恒过一定点M,M点的坐标(1,0).
点评:本小题主要考查抛物线的简单性质、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,本题巧妙地把点的轨迹方程和复数有机地结合在一起,解题时要注意复数的合理运用.
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已知复数z1=2cosθ+isinθ,z2=1-isinθ,其中i为虚数单位,θ∈R.
(1)当z1,z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时,求m、n的值.
(2)求|z1
.
z2
|的值域.

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(1)当z1,z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时,求m、n的值.
(2)求|z1
.
z2
|的值域.

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(1)若复数z1对应的点M(m,n)在曲线上运动,求复数z所对应的点P(x,y)的轨迹方程;
(2)将(1)中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位,得到新的轨迹C,求C的轨迹方程;
(3)过轨迹C上任意一点A(异于顶点)作其切线,交y轴于点B,求证:以线段AB为直径的圆恒过一定点,并求出此定点的坐标.

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