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已知复数z1=2cosθ+isinθ,z2=1-isinθ,其中i为虚数单位,θ∈R.
(1)当z1,z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时,求m、n的值.
(2)求|z1
.
z2
|的值域.
分析:(1)由于z1,z2是方程3x2-2x+c=0的两个复数根故z1=
.
z2
,求出θ,再根据根与系数的关系可求出m,n.
(2)直接求出|z1
.
z2
|的表达式,利用三角函数以及二次函数的性质,求出值域即可.
解答:解:(1)复数z1=2cosθ+isinθ,z2=1-isinθ,
z1,z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根,
所以z1=
.
z2
,即2cosθ+isinθ=1+isinθ,所以
2cosθ=1
sinθ=sinθ
,所以cosθ=
1
2

m=-z1-z2=-(z1+z2)=-2cosθ-1=-2.
n=z1•z2=1+sin2θ=
7
4

(2)|z1
.
z2
|=|(2cosθ+isinθ)(1+isinθ)|
=|(2cosθ+isinθ)||(1+isinθ)|
=
(1+3cos2θ)(1+sin2θ)

=
2+2cos2θ+
3
4
sin2

=
3+cos2θ+
3
4
-
3
4
cos2

=
15
4
+cos2θ-
3
4
cos2

=
49
12
-
3
4
(cos2θ-
1
3
)
2
[
2
7
3
6
]
点评:本题考查复数的代数表示法及其几何意义,复数的基本概念,三角函数的有界性,是综合试题.
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2
+i
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5
3
=0
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3
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3
3
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