Question

已知复数z₁=2cosα+（2sinα）i，z₂=cosβ+（sinβ）i（α，β∈R），
（1）若z1+z2=

2

+i，求cos（α-β）的值；
（2）若z₂对应的点P在直线x+y-

5

3

=0上，且0＜β＜π，求sinβ-cosβ的值；

Answer 1

分析：（1）根据z₁+z₂获得关于α和β的方程组，进而利用两式的平方和，根据两角和公式求得答案．
（2）根据题意可知cosβ+sinβ-

5

3

=0求得cosβ+sinβ的值，平方后利用同角三角函数的基本关系求得sinβcosβ的值，进而利用（sinβ-cosβ）²=1-2sinβcosβ求得（sinβ-cosβ）²的值，利用α，β的范围确定sinβ-cosβ的正负，答案可得．

解答：解：（1）z1+z2=

2

+i?

2cosα+cosβ= 2    (1) 2sinα+sinβ=1   (2)

，
由（1）²+（2）²得：5+4cos（α-β）=3，
∴cos(α-β)=-

1

2

，
（2）由已知得cosβ+sinβ-

5

3

=0，即cosβ+sinβ=

5

3

，
∴(cosβ+sinβ)2=1+2sinβcosβ=

5

9

，
∴2sinβcosβ=-

4

9

，
∴(sinβ-cosβ)2=1-2sinβcosβ=

13

9

，
∵0＜β＜π，
∴sinβ＞0，cosβ＜0，
∴sinβ-cosβ=

13

3

．

点评：本题主要考查了两角和与差的预先，同角三角函数的基本关系，复数的代数形式的运算等．考查了学生综合把握所学知识的能力和基本的运算能力．