Question

已知复数z₁=2cosθ+i•sinθ，z₂=1-i•（

3

cosθ），其中i是虚数单位，θ∈R．
（1）当cosθ=

3

3

时，求|z₁•z₂|；
（2）当θ为何值时，z₁=z₂．

Answer 1

分析：（1）根据所给的复数的代数形式，写出复数的模长，把两个模长做乘法运算，整理化简，根据所给的角的余弦值得到正弦值，代入所得的模长代数式，得到结果．
（2）根据复数相等的充要条件，得到两个复数的实部和虚部分别相等，得到关于角θ的方程组，解方程组得到角的范围．

解答：解：（1）|z₁•z₂|=|z₁||z₂|=

4cos2θ +sin2θ

1+3cos2θ

，
∵cosθ=

3

3

，
∴cos2θ=

1

3

，sin2θ=

2

3

∴|z₁•z₂|=2，
（2）∵z₁=z₂．
∴2cosθ=1，-sinθ=

3

cosθ，
∴θ=2kπ±

π

3

且θ=kπ-

π

3

，k∈z，
∴θ=2kπ-

π

3

，k∈z

点评：本题考查复数求模长，考查复数相等的充要条件，考查三角函数的运算，考查解关于三角函数的方程，本题是一个综合题目．