Question

（本小题满分12分）已知函数（为常数）。

（Ⅰ）函数的图象在点（）处的切线与函数的图象相切，求实数的值；

（Ⅱ）设，若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数，，都有

成立，求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为，所以，因此，

所以函数的图象在点（）处的切线方程为，                ……1分

由得，

由，得.                                     ……3分

（Ⅱ）因为，

所以，

由题意知在上有解，

因为，设，因为，

则只要，解得，

所以b的取值范围是.                                               ……6分

（Ⅲ）不妨设，

因为函数在区间[1,2]上是增函数，所以，

函数图象的对称轴为，且。

（i）当时，函数在区间[1,2]上是减函数，所以，

所以等价于

，

即，

等价于在区间[1,2]上是增函数，

等价于在区间[1,2]上恒成立，

等价于在区间[1,2]上恒成立，

所以，又，

所以.                                                              ……8分

（ii）当时，函数在区间[1, b]上是减函数，在上为增函数。

① 当时，

等价于，

等价于在区间[1,b]上是增函数，

等价于在区间[1,b]上恒成立，

等价于在区间[1,b]上恒成立，

所以，又，所以

②当时，

等价于，

等价于在区间[b,2]上是增函数，

等价于在区间[b,2]上恒成立，

等价于在区间[b,2]上恒成立，

所以，故，

③当时，

由图像的对称性知，

只要对于①②同时成立，

那么对于③，则存在，

使 =恒成立；

或存在，

使=恒成立，

因此，

综上，b的取值范围是.                                         ……12分

考点：本小题主要考查利用导数求切线方程、求单调性以及解决恒成立问题，考查学生的运算求解能力和转化能力和分类讨论思想的应用.

点评：导数是研究函数的一个有力的工具，研究函数时，不要忘记考查函数的定义域.另外恒成立问题一般转化成求最值问题解决.