Question

（2012•安徽模拟）数列{a_n}中，a1=

5

7

，an+1=2-

1

an

(n∈N*)；数列{b_n}满足bn=

1

an-1

(n∈N*)．
（I）求证：数列{b_n}是等差数列，并求出{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求{a_n}中最大项与最小项．

Answer 1

分析：（I）由bn+1-bn=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

an

an-1

-

1

an-1

=1，由此能证明{b_n}是公差为1的等差数列，从而能求出{a_n}的通项公式a_n．
（II）令f(x)=

2x-7

2x-9

，则f′(x)=

-4

(2x-9)2

＜0，故f（x）在(-∞，

9

2

)及(

9

2

，+∞)均递减，由此能求出{a_n}中最大项与最小项．

解答：解：（I）bn+1-bn=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

2- 1 an -1

-

1

an-1

=

an

an-1

-

1

an-1

=1，
∴{b_n}是公差为1的等差数列；…（4分）
又b1=

1

a1-1

=-

7

2

，
∴bn=n-

9

2

，
∴

1

an-1

=n-

9

2

．
∴an=

2n-7

2n-9

；…（6分）
（II）令f(x)=

2x-7

2x-9

，
则　f′(x)=

-4

(2x-9)2

＜0，
∴f（x）在(-∞，

9

2

)及(

9

2

，+∞)均递减，
∴a₁＞a₂＞a₃＞a₄，a₅＞a₆＞…，
又当n≤4时，a_n＜1；当n＞4时，a_n＞1，
∴最大项为a₅=3，最小项为a₄=-1．…（ 12分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列中的最大项与最小项的求法．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．