Question

（2007•崇明县一模）给出下列曲线：①x²+y²=5；②y²=5x；  ③

x2

4

+y2=1；  ④

x2

4

-y2=1，其中与直线x-2y+5=0有且只有一个公共点的曲线的序号是

①②④

．（写出所有你认为正确的命题的序号）

Answer 1

分析：①只要判定x²+y²=5的圆心（0，0）到直线x-2y+5=0的距离与该圆的半径的大小比较即可
②联立y²=5x与直线x-2y+5=0，判定方程的根的个数即可
③联立

x2

4

+y2=1与直线x-2y+5=0判定方程的根的个数即可
④联立

x2

4

-y2=1与直线x-2y+5=0，判定方程的根的个数即可，

解答：解：①x²+y²=5的圆心（0，0）到直线x-2y+5=0的距离d=

5

5

=

5

等于该圆的半径，直线与圆相切，只有一个公共点
②联立y²=5x与直线x-2y+5=0可得y²-10y+25=0，解可得，y=5，x=5只有一个公共点
 ③联立

x2

4

+y2=1与直线x-2y+5=0可得5x²+10x+21=0，而此方程没解，直线与该曲线没有公共点
④联立

x2

4

-y2=1与直线x-2y+5=0可得x=

-29

10

，y=

21

20

，，直线与该曲线只有一个公共点
故答案为：①②④

点评：本题主要考查了直线与曲线的公共点的个数的判定，主要转化为判定相应方程的个数，一般是联立方程，通过方程的解的个数可判定．