Question

已知函数f(x)=-

x

1+|x|

，则满足f（2-x²）+f（x）＜0的x的取值范围是

（-1，2）

．

Answer 1

分析：根据奇偶性定义判断出该函数为奇函数，再将f（2-x²）+f（x）＜0变形为f（x）＜f（x²-2），利用函数的单调性列出不等关系，求解即可得到x的取值范围．

解答：解：∵函数f(x)=-

x

1+|x|

，定义域为R，
∴f（-x）=-

-x

1+|-x|

=

1

1+|x|

=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
当x＞0时，f（x）=-

x

1+x

=-

1

1 x +1

，
∴f（x）在（0，+∞）上为单调减函数，
根据奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在R上为单调减函数，
将不等式f（2-x²）+f（x）＜0变形为f（x）＜-f（2-x²），根据f（x）=-f（x），
∴f（x）＜f（x²-2），
又f（x）在R上为单调减函数，
∴x＞x²-2，即x²-x-2＜0，解得，-1＜x＜2，
∴满足f（2-x²）+f（x）＜0的x的取值范围是（-1，2）．
故答案为：（-1，2）．

点评：本题考查了函数的奇偶性与函数的单调性，以及解不等式，解题的关键是利用函数的单调性，转化为一元二次不等式．属于基础题．