Question

14．已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|，f（x）-m≥0恒成立．
（1）求实数m的取值范围；
（2）m的最大值为n，解不等式|x-3|-2x≤n+1．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值三角不等式求得 f（x）_min=3，可得m的范围．
（2）由题意可得|x-3|≤4+2x，分类讨论去掉绝对值，求得x的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|x+1|+|x-2|≥|x+1-（x-2）|=3，∴f（x）_min=3，当且仅当-1≤x≤2时，等号成立．
又 f（x）-m≥0恒成立，∴m≤f（x）_min=3．
（2）∵m的最大值为n=3，不等式|x-3|-2x≤n+1，即|x-3|-2x≤4，即|x-3|≤4+2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜3}\\{3-x≤4+2x}\end{array}\right.$①，或  $\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x-3≤4+2x}\end{array}\right.$②．
解①求得-$\frac{1}{3}$≤x＜3，解②求得x≥3．
综上可得，不等式|x-3|-2x≤n+1的解集为{x|x≥-$\frac{1}{3}$}．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，属于中档题．