Question

11．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为$\frac{1}{2}$，F₁，F₂分别为其左右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）在抛物线C：y²=4x上有两点M，N，椭圆C₁上有两点P，Q，满足$\overrightarrow{M{F}_{2}}$与$\overrightarrow{N{F}_{2}}$共线，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$与$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$共线，且$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，直线MN的斜率为k（k≠0），求四边形PMQN面积（用k表示）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题设得到关于a，b，c的方程组，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，|MN|=4，此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，从而四边形PMQN面积为8；求出直线MN的方程为：y=k（x-1），直线PQ的方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由抛物线定义，由此求出S_PMQN．

解答 解：（Ⅰ）由题设知：$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴所求的椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）直线MN的斜率为k，k≠0，设直线MN的方程为：y=k（x-1），
直线PQ的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由抛物线定义可知：|MN|=|MF₂|+|NF₂|=x₁+1+x₂+1=$\frac{{2k}^{2}+4}{{k}^{2}}$+2=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y得（3k²+4）x²-8x+4-12k²=0，
从而|PQ|=$\sqrt{1{+（-\frac{1}{k}）}^{2}}$|x₃-x₄|=$\frac{12（1{+k}^{2}）}{{3k}^{2}+4}$，
∴∴S_PMQN=$\frac{1}{2}$|MN|•|PQ|=$\frac{1}{2}$|MN|•|PQ|
=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{4}{{k}^{2}}$）•$\frac{12（1{+k}^{2}）}{{3k}^{2}+4}$=24•$\frac{{（1{+k}^{2}）}^{2}}{{3k}^{4}+{4k}^{2}}$．

点评 本题考查椭圆方程和轨迹方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．