Question

1．设f（x）=a^x-1，g（x）=b^x-1（a，b＞0），记h（x）=f（x）-g（x）
（1）若h（2）=2，h（3）=12，当x∈[1，3]时，求h（x）的最大值
（2）a=2，b=1，且方程$|{h（x）}|=t（{0＜t＜\frac{1}{2}}）$有两个不相等实根m，n，求mn的取值范围
（3）若a=2，h（x）=c^x-1（x＞1，c＞0），且a，b，c是三角形的三边长，求出x的范围．

Answer 1

分析 （1）根据h（2）=2，h（3）=12，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出mn的表达式，结合二次函数的性质求出mn的范围即可；
（3）问题等价于存在x使得${（\frac{b}{2}）}^{x-1}$+${（\frac{c}{2}）}^{x-1}$=1成立，令f（x）=${（\frac{b}{2}）}^{x-1}$+${（\frac{c}{2}）}^{x-1}$，根据函数的单调性求出x的范围即可．

解答 解：（1）由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b=2}\\{{a}^{2}{-b}^{2}=12}\end{array}\right.$，解得：a=4，b=2，
h（x）=f（x）-g（x）=4^x-1-2^x-1=${{（2}^{x-1}-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$≤${{（2}^{2}-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$=12，
故h（x）的最大值是12；
（2）由|h（x）|=t，|得：|2^x-1-1|=t，
则m=log₂（2-2t），n=log₂（2+2t），
m+n=log₂（2-2t）（2+2t），
0＜t＜$\frac{1}{2}$时，mn≤$\frac{{（m+n）}^{2}}{4}$=$\frac{{{[log}_{2}（4-{4t}^{2}）]}^{2}}{4}$＜1，
故0＜mn＜1，
综上，mn的范围是（0，1）；
（3）存在x使得b^x-1+c^x-1=2^x-1成立，
等价于存在x使得${（\frac{b}{2}）}^{x-1}$+${（\frac{c}{2}）}^{x-1}$=1成立，
令f（x）=${（\frac{b}{2}）}^{x-1}$+${（\frac{c}{2}）}^{x-1}$，
∵b＜2，c＜2，
则0＜$\frac{b}{2}$＜1，0＜$\frac{c}{2}$＜1，
则f（x）是减函数，
x＞2，f（x）∈（0，$\frac{b+c}{2}$），
∵$\frac{b+c}{2}$＞1，故必存在x₀＞2使得f（x₀）=1，
即${（\frac{b}{2}）}^{{x}_{0}-1}$+${（\frac{c}{2}）}^{{x}_{0}-1}$=1，
即${b}^{{x}_{0}-1}$+${c}^{{x}_{0}-1}$=${2}^{{x}_{0}-1}$，
综上，x＞2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查对数函数以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道综合题．