Question

在平面直角坐标系xOy中．已知向量

a

、

b

，|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，点Q满足

OQ

=2

2

（

a

+

b

），曲线C={P|

OP

=

a

cosθ+

b

sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤|

PQ

|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（　　）

• A、3＜r＜5＜R
• B、3＜r＜5≤R
• C、0＜r≤3＜R＜5
• D、3＜r＜R＜5

Answer 1

考点：曲线与方程

专题：平面向量及应用

分析：设

a

=（1，0），

b

=（0，1），得出P点的轨迹是单位圆，Ω={P|（0＜r≤|

PQ

|≤R，r＜R}表示的平面区域是以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，
若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，根据圆圆相交得到答案．

解答： 解：在平面直角坐标系xOy中，向量

a

、

b

满足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，
不妨设

a

=（1，0），

b

=（0，1），
则

OQ

=2

2

（

a

+

b

）=（2

2

，2

2

），

OP

=

a

cosθ+

b

sinθ=（cosθ，sinθ），0≤θ≤2π；
∴P点的轨迹是单位圆，
Ω={P|（0＜r≤|

PQ

|≤R，r＜R}表示的平面区域为：
以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环；
若C∩Ω为两段分离的曲线，
则单位圆与圆环的内外圆均相交，
∴|OQ|-1＜r＜R＜|OQ|+1；
又∵|OQ|=4，
∴3＜r＜R＜5．
故选：D．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是得出点P的轨迹以及Ω={P|（0＜r≤|

PQ

|≤R，r＜R}表示的平面区域，是较难的题目．