Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E，F分别为PA、AC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求点F到平面ABE的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AD中点G，并连接EG，FG，BD，根据中位线的平行性质，及线面平行、面面平行的判定定理即可判定平面EFG∥平面PAB，而EF?平面EFG，所以EF∥平面PAB；
（Ⅱ）容易说明PD⊥平面ABE，而取BE中点H，连接FH，则FH∥ED，所以FH⊥平面ABE，所以求线段FH的长度即是点F到平面ABE的距离．并且能得到FH=

1

4

PD，而PD在直角三角形PAD中，由PA=AD=1，是可以求出来的．这样也就求出了点F到平面ABE的距离．

解答： 解：（Ⅰ）证明：如图，取AD中点G，连接EG，FG，BD则：
EG∥PA，FG∥AB；
PA?平面PAB，EG?平面PAB；
∴EG∥平面PAB，同理FG∥平面PAB，EG∩FG=G；
∴平面EFG∥平面PAB，EF?平面EFG；
∴EF∥平面PAB；

（Ⅱ）PA=AD，E是PD中点，∴AE⊥PD，即PD⊥AE；
PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD；
∴PA⊥AB，即AB⊥PA，又AB⊥AD；
∴AB⊥平面PAD，PD?平面PAD；
∴AB⊥PD，即PD⊥AB，AE∩AB=A；
∴PD⊥平面ABE，取BE中点H，连接FH；
∵F是BD中点，∴FH∥ED，∴FH⊥平面ABE，且FH=

1

2

ED，又ED=

1

2

PD；
∴FH=

1

4

PD；
在Rt△PAD中，PA=AD=1，∴PD=

2

；
∴FH=

2

4

；
即点F到平面ABE的距离为

2

4

．

点评：考查中位线的性质，线面平行、面面平行的判定定理，面面平行的性质，线面垂直的判定定理．