Question

已知函数定义在R上.

（1）若可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，设，

，求出的解析式；

（2）若对于恒成立，求m的取值范围；

（3）若方程无实根，求m的取值范围.

Answer 1

解：（1）假设①，其中偶函数，为奇函数，

则有，即②，

由①②解得，.

∵定义在R上，∴，都定义在R上.

∵，.

∴是偶函数，是奇函数，∵，

∴，

. 由，则，

平方得，∴，

∴.

（2）∵关于单调递增，∴.

∴对于恒成立，

∴对于恒成立，令，则，

∵，∴，故在上单调递减，

∴，∴为m的取值范围.        

（3）由（1）得，

若无实根，即①无实根，    

方程①的判别式.

1°当方程①的判别式，即时，方程①无实根.

2°当方程①的判别式，即时，

方程①有两个实根，

即     ②，

只要方程②无实根，故其判别式，

即得③，且     ④，

∵，③恒成立，由④解得，   ∴③④同时成立得．

综上，m的取值范围为.