Question

13．已知a，b∈（0，1），则a+b≤1是不等式ax²+by²≥（ax+by）²对任意x，y∈R恒成立的充分必要条件．

Answer 1

分析 结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答 解：∵ax²+by²-（ax+by）²
=（a-a²）x²+（b-b²）y²-2abxy
=a（1-a）x²+b（1-b）y²-2abxy，
又∵a+b≤1，a，b∈（0，1），
∴原式=abx²+aby²-2abxy=ab（x-y）²≥0，
∴ax²+by²≥（ax+by）²，成立．
当x=y=1时，不等式等价为a+b≥（a+b）²，
即（a+b）（a+b-1）≤0，
∵a，b∈（0，1），
∴a+b-1≤0，即a+b≤1，
∴a+b≤1是不等式ax²+by²≥（ax+by）² 对任意的x，y∈R恒成立的充分必要条件，
故答案为：充分必要．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．